质量守恒方程(连续性方程)推导

作为一名 CFDer,一定要懂得流体力学的三大定律,包括质量守恒定律,动量守恒定律和能量守恒定律。不知道三大守恒方程的推导过程,应该不是一个合格的 CFDer。终极的 CFD 玩法应该是,推导出守恒方程,然后自己编写程序计算方程。最低级的玩法应该就是玩弄一下 CFD 软件。

1. 前言

个人建议,自己推导出守恒方程;研究一些数值计算方法,适当编写一些程序求解二维守恒方程;在玩弄 CFD 软件前好好研读一下陶文铨大师的《数值传热学》,搞懂软件是怎么玩的。做了这三件事,应该是一名不错的 CFDer。今天,我们来好好推导一下三大守恒方程,之后再回归案例,读者朋友应该多动笔自己推导,通常很难一下子就记住,多练习了就好了。另外,这种非线性偏微分方程的推导涉及到的全微分、偏导数等高等数学知识请自行补习,只能说数学真美。

2. 质量守恒方程

我们先进行质量守恒方程也叫连续性方程的推导,这是三个方程中最简单的。

质量守恒定律为:流进控制体的质量和流出控制体的质量的差值等于控制体的质量变化率,这里质量流量为标量,规定流入控制体为正,流出控制体为负。

我们研究如下的笛卡尔坐标系下的控制体

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根据如下示意图,X 方向上流进与流出控制体的质量之差为:

\[\rho v_{x} d y d z-\left(\rho v_{x}+\frac{\partial\left(\rho v_{x}\right)}{\partial x} d x\right) d y d z=-\frac{\partial\left(\rho v_{x}\right)}{\partial x} d x d y d z\]

式中,dydz 为 X 方向上的通流面积,dxdydz 为控制体的体积。

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根据如下示意图,Y 方向上流进与流出控制体的质量之差为:

\[\rho v_{y} d x d z-\left(\rho v_{y}+\frac{\partial\left(\rho v_{y}\right)}{\partial y} d y\right) d x d z=-\frac{\partial\left(\rho v_{y}\right)}{\partial y} d x d y d z\]

式中,dxdz 为 Y 方向上的通流面积,dxdydz 为控制体的体积。

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作者:鱼花生
  • 分享于 · 2022.04.10 23:55 · 阅读 · 421

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