有问题就有江湖,带你了解结构力学分析中的英雄侠士

现阶段结构力学分析的江湖几乎已被有限单元法一统江山。但实际上,有限单元法只是数值方法求解微分方程的众多手法之一,在此文中,将介绍现阶段几位一样能够参与结构分析华山论剑的绝顶高手。

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1. 武林盟主:有限单元法

如今江湖,各路豪杰并起,热闹非凡,上至通用分析软件中鼎鼎大名的 ABAQUS、ANSYS、SAP2000 等,下至结构工程师的老朋友 PKPM、YJK、Midas,若要追根溯源,有限单元法是他们共同的基础。在结构设计界,据我所知,有限单元法已经一统江湖,号令天下,莫敢不从,俨然武林盟主之态。那么,这位盟主出身如何呢,且看以下分解。

1.1 盟主的身世:有限单元法的发展

有限单元法思想最早出现在 1943 年,Courant 采用定义在一系列三角形区域的分片连续函数结合最小势能原理求解 St.Venant 扭转问题。由于当时计算工具的限制,这种方法并没有在接下来的时间里得到较好的发展。直到 1960 年以后,电子计算机的广泛应用和发展,现在意义上的有限单元法才真正发展起来。

现代意义上的有限单元法第一个成功的尝试出现在 1956 年,这是由 Tuner 和 Clough 等人在分析飞机结构时提出的。他们使用有限单元法三角形单元,得出了平面应力问题的正确解答。1960 年 Clough 将其进一步推广到平面弹性问题,并第一次提出“有限单元法”这一名称。而在这之后的 1965 年,O. C. Zienkiewicz 和 Y. K. Cheung 发现存在变分形式的所有场问题即满足变分原理的所有场问题,都可以用于固体力学有限元法相同的步骤求解。

但是并不是所有问题都能找到对应的变分原理,在不能找到变分原理的问题中应用有限单元法,就必须找到能够给出有限元格式的方法。在 1969 年,Oden J T 从所谓的能量平衡法出发,得出热弹性问题的有限元分析方程组。1969 年,B. A. Szabo 和 G. C. Lee 将加权余量法,特别是 Galerkin 法引入有限单元法导出标准的有限元过程来求解非结构问题。加权余量法引入有限单元法后,使得有限单元法的应用范围得到了极大拓展。而且有限单元法同门中还有两位骨骼惊奇的奇侠,一般的有限单元法,形函数都是一阶线性的,对于复杂的几何边界条件比较吃力,所以有了等参元法和 Wilson 非协调元,这两位形函数中含二次项的选手。

20 世纪 70 年代,有限单元法的发展已达到高峰,其基本理论和方法已趋成熟。

1.2 盟主的招式:有限单元法的基本步骤

盟主有限单元法在解决敌手时总有个固定的套路。

起手式,将求解域离散为一系列单元。就是现在各路软件中划分网格的过程。

紧接一招隔空猜物,就是在各个单元内用基于单元各结点值的单元插值函数来拟合此单元上的未知场函数,我们常见的力学求解问题,一般都是先求解整体结构的位移函数。

然后一招万法归宗,根据力学原理求出各单元的刚度矩阵。再由单元刚度矩阵凝聚为总刚矩阵,配合边界条件解出数值解。

在一般的结构力学问题中,这几招下来基本无坚不摧。

1.3 盟主的罩门:有限单元法的瑕疵

盟主虽然已然一统江湖,但是其余高手仍未被除尽,可见盟主武功中也存在弱点。

首先就是单元的划分,虽然许多有限元程序有了自动划分单元的功能,但至今还无法保证划分的网格一定合理,由于网格划分不合理导致计算精度差甚至不收敛也不能完全避免。

其次,现有的有限单元法大都采用一阶线性形函数,在拟合复杂问题时效率不高,而等参元法拟合的二次形函数并不完备,Wilson 非协调元由于不符合变形协调条件,不能保证收敛。

再者,有限单元法在涉及大变形问题时,由于计算中网格会出现严重的扭曲,这样不但需要网格的重构,而且也会导致计算精度的下降。在处理裂纹发展问题时,由于裂纹发展的不确定性,在计算中随着裂纹的发展不得不不断地重新划分单元来模拟整个裂纹发展的动态过程。

2. 隐侠:无网格法

2.1 隐侠的由来:无网格法的发展

针对盟主的罩门,另一位高手修炼了另一门绝学——无网格法,其计算与网格无关。这种无网格法的出现,在大变形和裂缝发展问题中,不像有限单元法一样需要重新划分网格,因此,无网格法在处理这类问题时不仅能够提高计算精度,并且还能减小计算难度。

无网格法的出现最早可以追溯到 20 世纪 70 年代。当时人们开始研究对非规则网格有限元差分法的研究,这是无网格法的前身。1977 年,Lucy 提出了“Smoothed Particle Hydrodynamics”方法,此方法即被简称为 SPH 方法。1995 年,Liu 等人在其基础上提出了再生核粒子方法——“Reproducing Kernel Particle Method”简称为 RKPM 方法。RKPM 方法和 SPH 方法一样都是基于核近似的无网格方法,它在 SPH 方法基础上引入修正函数施加再生条件并且采用高斯积分。RKPM 方法不仅解决了 SPH 方法在边界条件上不一致性的问题,而且完全消除了 SPH 方法的张力不稳定。但由于 RKPM 方法不满足 Kronecker delta 函数性质,这使得这种方法施加边界条件比较困难。

  • 分享于 · 2019.11.11 17:04 · 阅读 · 336

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