五种常用的材料屈服准则——优缺点和适用范围

五种常用的屈服准则，它们分别是 Tresca 准则，Von-Mises 准则，Mnhr-Coulomb 准则，Drucker -Prager 准则，Zienkiewicz-Pande 准则。其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则。

1. Tresca 屈服准则

当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。这就是 Tresca 屈服条件，也称为最大剪应力条件。

\[\tau _{max}=k\]

规定 σ1≥σ2≥σ3 时，上式可表示为：

\[\sigma _1-\sigma _3=2k\]

如果不知道 σ1、σ2、σ3 的大小顺序，则屈服条件可写为：

\[\left [ \left ( \sigma _1-\sigma _2 \right)^2 -4 k ^ 2 \right ]\left [\left ( \sigma _2-\sigma _3 \right)^2 -4 k ^ 2 \right ]\left [\left ( \sigma _3-\sigma _1 \right)^2 -4 k ^ 2 \right ]=0\]

换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以 Tresca 屈服准则又称为最大切应力不变条件。

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。

Tresca 屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。

2. Mises 屈服准则

当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为：

\[\left ( \sigma _1-\sigma _2\right)^2+\left (\sigma _2-\sigma _3\right)^2+\left (\sigma _3-\sigma _1\right)^2=6k^2\]

或

\[J_2=k^2\]

其中，k 为常数，可根据简单拉伸试验求得：

\[J_2=k_2=\sigma _\zeta ^{2\beta}\]

或根据纯剪切试验来确定：

\[J_2=k_2=\tau_\zeta ^2\]

它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。这时有：

\[\gamma_ \varepsilon =\sqrt{2J_2} =\sqrt{2}k=const\]

换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。Mises 屈服准则的物理意义：当材料的单位体积形状改变的弹性能达到某一常数时，质点就发生屈服。故 Mises 屈服准则又称为能量准则。

3. Mnhr -Coulomb 准则

Tresca 屈服条件和 Mises 屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，但是这两个屈服条件如果简单地应用于岩土材料，会引起不可忽视的偏差。

针对此，Mohr 提出这样一个假设：当材料某个平面上的剪应力 τn 达到某个极限值时，材料发生屈服。这也是一种剪应力屈服条件，但是与 Tresca 屈服条件不同，Mohr 假设的这个极限值不是一个常数值，而是与该平面上的正应力 σn 有关，它可以表示为：

\[\tau _n=f(C,\Phi ,\sigma _n)\]

上式中，C 是材料粘聚强度，Φ 是材料的内摩擦角。这个函数关系式可以通过实验确定。一般情况下，材料的内摩擦角随着静水应力的增加而逐渐减小，因而假定函数对应的曲线在 σn-τn 平面上呈双曲线或抛物线或摆线。但在静水应力不大的情况下，屈服曲线常用 Φ 等于常数的直线来代替，它可以表示为：

\[\tau _n=C-\sigma _n \tan \phi\]

上式就称为 Mohr—Coulomb 屈服条件。

设主应力大小次序为 σ1≥σ2≥σ3，则上式可以写成用主应力表示的形式

\[\frac{1}{2}(\sigma _1-\sigma _3)=C \cos \phi -\frac{1}{2}(\sigma _1+\sigma _3)\sin\phi\]

4. Drucker -Prager 准则

Drucker-prager 屈服准则是对 Mohr-Coulomb 准则的近似，它修正了 Von Mises 屈服准则，即在 Von Mises 表达式中包含一个附加项。其屈服面并不随着材料的逐渐屈服而改变，因此没有强化准则，塑性行为被假定为理想弹塑性，然而其屈服强度随着侧限压力（静水应力）的增加而相应增加，另外，这种材料考虑了由于屈服而引起的体积膨胀，但不考虑温度变化的影响。故此材料适用于混凝土、岩石和土壤等颗粒状材料。