和数学家一样思考的 10 种方法

《像数学家一样思考》是英国数学教授 Kevin Houston 的一本科普书，与作品相伴的还有一套简化版的 PPT，如下：

1 质疑一切

在我看来，数学真正美妙的地方之一在于它可以被检验，你不必把任何人的话当做圣经。如果有人给你说一些事情是真的，那你可以让他证明。最好是，如果你真的想同数学家一样思考，那你可以尝试主动证明它，不要等着有人拿勺子喂你。

对于一些人的话，你的反应应该是怀疑，并且试图去找到一个反例，即便是真的，这对你的锻炼也是有益的，同时也能提高我们对事情的判断力。（注意，在真实生活中过度这么做可能会失去朋友—— 一直挑别人的刺，谁都会不爽。）

某报纸的一份来信说时间旅行从逻辑上是不可能的，因为如果时间旅行是可能的，那我们会看到很多来自未来的人。我有一些想法来反驳这个逻辑：或许时间旅行只允许我们穿越到过去某点时间（比人类历史还要长）；或许时间旅行者不允许和我们交流；或许时间旅行有一个范围，能穿越的时间不超过一年，而时间旅行在数年后才出现（时间旅行的机器不能穿越）。

2 写下来

写下来？你可能会问，这跟和数学家一样思考有啥关系。是这样的，语言是由一些论据构建的。高水平数学家的论据都是证明的形式（不仅仅是给出正确的数字答案）。

学生通常看不到写下来的重要，他们常常说：“我来大学不是来写作文的”，“我已经知道正确答案了”，“你懂的”。他们的作业都是一些没有关系的符号堆砌，但依然可以获取高分。但是，如果你想去理解数学并且思路清晰，通过写的练习可以迫使你对自己的观点想的更清楚。如果你不能正确的描述，那么很可能你并不是真正理解了你要表达什么。这是一个可以学习和锻炼提高自己技术的很好的机会。其实写的一手好文章在任何领域都是很有用的技术。

3 试试逆？

语句 A =>B 是数学的核心，我们可以表述为如果 A 是真的，那么 B 就是真的；A=>B 的逆就是 B =>A，例如：“如果我是丘吉尔，那我是英国人”的逆是“如果我是英国人，那么我是丘吉尔”。这个简单的例子说明了，即便是一个语句是真的，那么其逆可能真也可能非真，说之前要搞清楚。一个好的数学家，当提出一个 A 隐含 B 的语句时，通常会思考“其逆为真么？”，把这个问题印到脑子里，作为你和数学打交道的工具。然后，其逆是否为真并不是很重要，关键是磨练数学的能力。

说个题外话，通常人们会犯一个大错误，就是当 A =>B 时，认为如果 A 非真的，那么 B 也非真的，这是不对的，这个语句只是在说当 A 为真是会发生什么，并没有说 A 非真时的情况。现在可以像一个数学家一样思考一下，给一个例子。

4 试着互逆

一条语句‘A => B’的互逆是‘not B => not A’。

例如：

『如果我是丘吉尔，那么我就是英国人』的互逆就是『如果我不是英国人，那么我就不是丘吉尔』。

『如果我不是美国人，那么我就不是德克萨斯人』的互逆就是『如果我是德克萨斯人，那么我就是美国人』

『x^2 – 4x – 5 = 0  => x >= -2』的互逆就是『x<-2> x^2-4x-5 != 0』

A=>B 的互逆命题和自身的真假惊奇的一致！也就是说，如果 A =>B 是真的，那么 not A => not B 就是真的，反之亦然。可以验证一下上面的例子。一开始可能很难在脑子里形成固有概念 – 其实大多数人都不相信。有一个著名的关于互逆的教育实验，叫做 Wason 的选择任务。可以看一看你是否能通过测试，只有不到 10% 的人通过了；

由于互逆经常用做证明，并且日常推理也经常搞错，所以你应该掌握。

5 考虑极端情况

面对一个命题，要在少量极端的假设情况下看看，如果需要的参数为 0 或者 1 会怎样？如果把需要的函数定义为 f(x)= 0 会怎样？数据集为空呢？如果需要的序列为 1，1，1，1……呢？直线或者圆会有什么结果？