和数学家一样思考的10种方法

《像数学家一样思考》是英国数学教授Kevin Houston的一本科普书,与作品相伴的还有一套简化版的PPT,如下:

1质疑一切

在我看来,数学真正美妙的地方之一在于它可以被检验,你不必把任何人的话当做圣经。如果有人给你说一些事情是真的,那你可以让他证明。最好是,如果你真的想同数学家一样思考,那你可以尝试主动证明它,不要等着有人拿勺子喂你。

对于一些人的话,你的反应应该是怀疑,并且试图去找到一个反例,即便是真的,这对你的锻炼也是有益的,同时也能提高我们对事情的判断力。(注意,在真实生活中过度这么做可能会失去朋友—— 一直挑别人的刺,谁都会不爽。)

某报纸的一份来信说时间旅行从逻辑上是不可能的,因为如果时间旅行是可能的,那我们会看到很多来自未来的人。我有一些想法来反驳这个逻辑:或许时间旅行只允许我们穿越到过去某点时间(比人类历史还要长);或许时间旅行者不允许和我们交流;或许时间旅行有一个范围,能穿越的时间不超过一年,而时间旅行在数年后才出现(时间旅行的机器不能穿越)。

2写下来

写下来?你可能会问,这跟和数学家一样思考有啥关系。是这样的,语言是由一些论据构建的。高水平数学家的论据都是证明的形式(不仅仅是给出正确的数字答案)。

学生通常看不到写下来的重要,他们常常说:“我来大学不是来写作文的”,“我已经知道正确答案了”,“你懂的”。他们的作业都是一些没有关系的符号堆砌,但依然可以获取高分。但是,如果你想去理解数学并且思路清晰,通过写的练习可以迫使你对自己的观点想的更清楚。如果你不能正确的描述,那么很可能你并不是真正理解了你要表达什么。这是一个可以学习和锻炼提高自己技术的很好的机会。其实写的一手好文章在任何领域都是很有用的技术。

3试试逆?

语句A=>B是数学的核心,我们可以表述为如果A是真的,那么B就是真的;A=>B的逆就是B=>A,例如:“如果我是丘吉尔,那我是英国人”的逆是“如果我是英国人,那么我是丘吉尔”。这个简单的例子说明了,即便是一个语句是真的,那么其逆可能真也可能非真,说之前要搞清楚。一个好的数学家,当提出一个A隐含B的语句时,通常会思考“其逆为真么?”,把这个问题印到脑子里,作为你和数学打交道的工具。然后,其逆是否为真并不是很重要,关键是磨练数学的能力。

说个题外话,通常人们会犯一个大错误,就是当A=>B时,认为如果A非真的,那么B也非真的,这是不对的,这个语句只是在说当A为真是会发生什么,并没有说A非真时的情况。现在可以像一个数学家一样思考一下,给一个例子。

4试着互逆

一条语句‘A => B ’的互逆是 ‘not B => not A’。

例如:

『如果我是丘吉尔,那么我就是英国人』的互逆就是『如果我不是英国人,那么我就不是丘吉尔』。

『如果我不是美国人,那么我就不是德克萨斯人』的互逆就是『如果我是德克萨斯人,那么我就是美国人』

『x^2 – 4x – 5 = 0  => x >= -2』的互逆就是『x<-2> x^2-4x-5 != 0』

A=>B的互逆命题和自身的真假惊奇的一致!也就是说,如果A=>B是真的,那么not A => not B就是真的,反之亦然。可以验证一下上面的例子。一开始可能很难在脑子里形成固有概念 – 其实大多数人都不相信。有一个著名的关于互逆的教育实验,叫做Wason的选择任务。可以看一看你是否能通过测试,只有不到10%的人通过了;

由于互逆经常用做证明,并且日常推理也经常搞错,所以你应该掌握。


  • 分享于 2017-08-23 21:53
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