2 如何理解有限元分析中的剪切锁定

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剪切锁定和体积锁定又叫剪切锁死、体积锁死,是有限元分析中常见的因单元选择造成的模型缺陷。

剪切锁定

现象:以结构弯曲变形为主的问题中,单元整体出现“刚度过大”的情况,结构形变明显小于预期。

原因:根据梁的基本理论,对于纯弯变形,轴向应变在厚度方向呈线性变化,而剪应变为 0。但如果在计算中采用了低阶完全积分的四节点或四边形单元,线性单元在没有中间节点的情况下无法模拟纯弯,原本的纯弯应该是这个样子的

,如图:

attachments-2020-07-uCHvG0pT5f22c2561d9ad.jpeg

采用了四节点的线性单元,就只能以上下缘节点相对位移变化来体现“弯曲”,如图:

attachments-2020-07-gdSyUZHY5f22c264d22bd.jpeg

但是,纯弯问题的特点是只存在沿高度方向的纤维长短变化,纯弯构件的每个截面与中线总是垂直的。当出现四个节点模拟纯弯的时候,无法体现“中心线的弯曲”,即在数学描述上形成了单元水平线与垂直线之间的夹角变化,即“产生了”名义上的剪应力。从而提高了单元的刚度,然而这部分刚度显然是不存在的,无形中使总的变形量减小。

体积锁定

现象:分析结果显示体积几乎不可压缩,体积应变表现为无穷小,体现为结构过硬,甚至导致非线性分析的不收敛。

原因:材料力学中有弹性模量、剪切模量等等诸多“模量”,其中,有一个与体积有关的模量,即“体积模量”,表达式如下:

\[K=\frac{E}{3(1-2v)}\]

体积模量可描述均质各向同性固体的弹性,可表示为单位面积的力,表示不可压缩性。当泊松比接近 0.5 时,上式中分母趋近于零,导致体积模量无穷大、体积应变无穷小。材料表现为不可压缩,在超弹性材料、塑性流动时出现这种不可压缩性的时候,会导致计算困难,产生单元伪应力。

解决方案

对于单元过硬问题,一般采用不同的单元计算公式。ANSYS18X 系列单元提供了 B -Bar、URI、增强应变和混合 U - P 四种计算方法。

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选择缩减积分 /B-Bar

对于在单元选项中设置关键字 K2 设置 Full Integration 法的情况,解决体积锁定问题。思路是将容易发生体积锁定的单元积分项分解为体积项和偏差项两个部分,其中对体积项进行缩减积分,从而使单元软化。
这种方法的优点是保持原模型分析方案不变,缺点是仍有发生体积锁定的可能。
一致缩减积分 /URI

用于处理体积锁定和剪切锁定问题,思路是对单元进行整体的缩减积分,使得单元软化。优点是计算性能好,速度快。缺点是可能会引起虚假的零能模式。

零能模式也叫沙漏模式,他在理论上是一种存在的一种变形模式,但是在实际模型中是不可能存在的。零能模式就是指有变形,但是不消耗能量。显然是一种伪变形模式,若不加以控制,计算模型会变得不稳定,并且计算出来的结果也是没有多大意义的。要加抵制这种变形模式就得相应的消耗一定的能量,也就是沙漏能,如果这个比值太多,就说明模型和实际的变形有很大的差别,当然不正确。这也是缩减积分所付出的代价。

关于零能模式,张洪伟等编著《ANSYS 非线性有限元分析方法及范例应用》一书 37 页的插图较好地做出了解释:

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如上图所示,在单个积分点的低阶单元中,单元能得到的应变能信息只有横纵两个方向的长度,而对图中的变形“视而不见”。意味着单个积分点上所有应力分量都为零。

增强应变积分

采用增强假定应变技术克服锁定问题。因为建立锁定是由于单元位移场函数不能模拟弯曲造成的,那么就给单元一个附加自由度——这个自由度专门用来解决剪切和体积锁定问题。这种方法在计算代价方面是一阶和二阶缩减积分的折衷效果。当其用于不可压缩材料时,需要与 Mixed U- P 方法一起应用,且只适用于四边形、六面体单元。

其简单形式,称为 Simplified Enhanced Strain,主要用于解决剪切锁定问题,不适合体积锁定。

关于增强应变积分的更多原理,可参考这篇文献:ENHANCED STRAIN METHODS FOR ELASTICITY PROBLEMS

混合 U -P

用来处理体积锁定问题,适用于不可压缩材料(泊松比为 0.5)和近似不可压缩材料(泊松比>0.495)。将位移求解,从位移的函数导出改成将压力作为独立自由度求解,就可以处理大体积模量的问题。

实例分析

为了尽量减小剪切锁定和体积锁定对分析结果造成的影像,尽量采用 18X 系列单元。其中 plane182 和 solid185 带有附加位移形状,plane183 和 solid186 可使用一致缩减积分方案。模拟复杂结构、曲面结构,尽量采用高阶单元。对于实体结构和壳体结构,可采用低阶六面体和四节点四边形单元。

剪切锁定实例,网址 百度文库
体积锁定实例,网址 百度文库

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