有限元科普：多物理场有限元入门（下）

转载：多物理场仿真技术 公众号

在仿真软件（CAD/CAE/EDA/CFD）开发工作中，发现很多软件研发测试人员没有工科背景，缺乏对有限元基础知识的了解，所以一直以来想写一篇不需要用积分求导公式的有限元科普文，希望该篇文章能有所帮助。
本文为下篇，继上篇介绍了网格、单元、边界条件、求解器等问题后，本文讨论多物理场有限元及相关案例。

1. 多物理场

工程领域的多物理场通常是指宏观领域的物理场，包括电磁，流体，结构，热，声，光（光本质上属电磁）等等，偏向于工程应用领域。需要和理论物理中的四大物理场（微观领域的强力，弱力，以及电磁力和天体的万有引力）相区别。

2. 形函数，基函数，伽辽金

伽辽金，俄罗斯人，伽辽金方法一如俄罗斯的武器，便宜，耐用，适应能力强，保养简单。
形函数（shape function）是用一个试探性的函数来表达单元内的偏微分方程，通常取多项式。
基函数（basis function）是用来表达一个单元内的物理量的坐标表达式。
伽辽金方法是加权余量法的一种（加权余量包括 配点法 子域法 矩量法 最小二乘法 伽辽金法），将形函数和基函数设为相同，同时将偏微分方程强形式变成弱形式，降低了求解限制，对于非连续介质，只要在插值点满足要求即可，提高了其适用范围。相对于其他方法，伽辽金方法最终生成的线性方程组的系数矩阵，稀疏对称，更容易求解。 简单讲，伽辽金方法简化了有限元方法使用门槛，搭建起了有限元数值理论到软件实现的桥梁，成为早期商业软件实现的基础。

3. 等参单元 / 高斯积分

等参单元：划分网格后，一般网格并不是标准网格（等边三角形，等边四面体或者立方体），直接使用形函数会造成计算上的困难，所以通常使用一个新标准网格来代替原有网格，并在标准网格和原有网格之间建立映射关系，新的网格称为等参单元。
高斯积分：在使用等参单元后，会有很多定积分需要求解，通常方法是在积分区域内按照一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数在积分点的值，然后再乘以加权系数作为近似积分值。高斯积分是精度最高的一种方法。这也是为什么很多有限元软件（比如 ABAQUS），最终结果并不在顶点上，而是在积分点上，需要注意转换。

4. 显示算法 / 隐式算法 / 稳态 / 瞬态 / 动力

显示算法 / 隐式算法在比较结构动力分析方法中比较常见，显示算法中的节点状态主要由前两部决定，不需要求解整体刚度矩阵，适合大规模并行计算，ABAQUS Explicit 和 LSDYNA 主要使用显式方法。
通常说的稳态指没有时间项的计算，物理场处于平衡不变化的状态。
瞬态 / 动力 中有时间项，即物理量随时间变化而变化，温度热传导，冲击荷载，结构振动，电磁时域都是和时间相关。常用求解方法是将时间离散，求解每一个时间点的状态。时间的离散步长需要根据实际情况计算，时间步长过大，求解不精确，过小，浪费计算资源。

5. 多物理场案例

5.1 被风吹塌的桥（流体，结构，振动）

塔科马海峡吊桥（英语：Tacoma Narrows Bridge）是位于美国华盛顿州塔科马的两条悬索桥，横跨塔科马海峡，第一座桥于 1940 年建成，但不到五个月便倒塌，公认的直接原因是桥梁在受到强风的吹袭下引起卡门涡街，使桥身摆动，当卡门涡街的振动频率和吊桥自身的固有频率相同时，引起吊桥剧烈共振而崩塌，这次事件成为研究空气动力学卡门涡街引起建筑物共振破坏力的活教材，也被记载为 20 世纪最严重的工程设计错误之一。而事故的根本原因是节省成本，减少桥面厚度所引起的刚度降低，虽然桥梁整体强度毫无问题，但是刚度降低破坏了整体稳定，无形中增加了风载造成的冲击，为事故埋下了隐患；事实上即使桥梁不被吹垮，长期经受高强度的冲击荷载，其使用寿命也会大大降低！
卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在一定条件下的定常流体绕过某些物体时，物体两侧会周期性地脱落出旋转方向相反、排列规则的双列线涡，经过非线性作用后，形成卡门涡街。如水流过桥墩，风吹过高塔、烟囱、电线等都会形成卡门涡街。常用的 CFD 软件中都会用卡门涡街作为基准测试建立标准算例。