LS-DYNA 隐式算法中转子动力学介绍

本文介绍了在 LS-DYNA 隐式算法中转子动力学的初步开发及研究，主要介绍了转动结构的动态响应及模态响应，并且得出其频率随转动速度的变化关系，也即是坎贝尔图（Campbell Diagram)，其结果也与显示算法及其他的有限元软件进行了比较，结果基本一致。

转子动力学是一门研究转动结构动力特性的科学，其研究对象包括发动机、涡轮机和电脑硬盘等等中的旋转部件。在转子动力特性的研究中，临界转速尤其是我们关注的重点，因为它会引起共振现象，从而导致旋转部件产生很大的变形，以致于整个结构出现不稳定振动。为了确定临界转速，有必要对旋转部件进行模态分析（Modal Analysis)，并研究其频率随着转速的变化情况，也即是坎贝尔图 (Campbell Diagram)。除此之外，转子在非平衡力下作用下的动态响应研究对转动结构在实际应用中的安全性考虑也非常重要。这些都将是我们首要研究的对象。

转子的动力学研究并不是一门新的学科，事实上，对于刚体的转动，尤其是具有规则形状的刚体，比如转轴，圆盘和圆柱等等，在几十年前就已经研究的很透彻了。但是对于变形体，尤其是不规则形状的变形体，虽然有基本的理论方程，却没有有很好的理论分析解。因此对这些变形转子的动力学分析需要用到一些现代的数值计算方法，有限元方法就是其中的典型代表。在 LS-DYNA 中已经有对转子动力学问题的初步研究，然而现有的分析中没有考虑陀螺效应 (gyroscopic effect) 及离心软化效应 (spin softening effect)，而这些效应，对转子的动态响应及模态响应影响非常大，因此在 LS-DYNA 中对此问题作深一步的分析是十分必要的。由于 LS-DYNA 中的模态分析采用的是隐式方法，并且对于结构的长时间动态响应问题，隐式方法也具有明显的优势，所以新加入的转子动力学问题主要会在隐式算法中实现。

在用隐法研究转子的动力学问题系列中，本文将会介绍：如何在 LS-DYNA 的隐式计算中加入转子动力学研究，离心力作用下的静态响应，陀螺效应及离心软化效应如何影响转子的动态响应及频谱响应，转子在非平衡力作用下的动态响应等等。

1. LS-DYNA 中参数设置

转子的动力学方程可以在两个坐标系下表述：固定坐标系和转动坐标系。在不考虑阻尼，几何刚度等情况下，动力学方程在转动坐标系下可表述为：

\[[M]\{\ddot{u}\}+2\Omega [C_c]\{\dot{u}\}+([K]-\Omega ^2[K_c])\{u\}=\{F\}\]

在固定坐标系下表述为：

\[[M]\{\ddot{u}\}+\Omega [C_g]\{\dot{u}\}+[K]\{u\}=\{F\}\]

其中，[M] 和 [K] 是系统的质量和刚度矩阵。Ω 是转动角速度，\(2\Omega[C_c]\) 是科里奥利 (Coriolis) 矩阵，且仅在转动坐标系中出现，\(\Omega[C_g]\) 是陀螺 (Gyrscopic) 矩阵，\(\Omega^2[K_c]\) 是离心 (centrifugal) 矩阵。对于不同的坐标系的选择，可以参考以下表格：

表 1 坐标系的应用

	对称转子	非对称转子
对称支撑	固定、转动坐标系	转动坐标系
非对称支撑	固定坐标系	N.A.

以上的转子动力学方程已经加入 LS-DYNA 中，通过改变转动角速度 Ω，可以研究结构在不同转速下的响应。转子动力学分析可以通过以下关键词卡来设置：

表 2 关键词卡 CONTROL_IMPLICIT_ROTATIONAL_DYNAMICS

Card	1	2	3	4	5	6	7	8
Variable	sid	stype	omega	vid	nomega	iref
Type	I	I	F	I	I	I
Variable	omeg1	omeg2	omeg3	omeg4	omeg5	omeg6	omeg7	omeg8
Type	F	F	F	F	F	F	F	F

其中，sid 和 stype 用来定义转动的部件，他们分别给出转动部件的集合编号和类型；omega 是转动角速度；vid 给出转动方向的向量编号，该向量可由 *DEFINE_VECTOR 和 *DEFINE_VECTOR_NODES 来定义。当要研究多个转速下的模态响应时，用 nomega 来定义需研究的转速个数，而每个转速则在关键词卡的第二行定义（omega1,……omega#n, #n 是 nomega)。正如前面提到的，转子动力学可以在两个坐标系下分析，若选择转动坐标系，则 iref=0; 若选择固定坐标系，则 iref=1。

2. LS-DYNA 中转子动力学分析

下面将介绍 LS-DYNA 中转子动力学的一些应用，主要包括以下两个方面：动态响应和模态响应分析。

2.1 动态分析

本文首先用转子动力学方法（CONTROL_IMPLICIT_ROTATIONAL_DYNAMICS) 分析了一片发动机叶片在离心力作用下的应力分布，并且与 LS-DYNA 中的动态松弛方法 (CONTROL_DYNAMICS_RELAXATION 和 *LOAD_BODY_RZ) 的结果比较，其比较结果如图 1 所示。通过比较 x,y 和 z 方向的应力可以看出，两种方法给出的应力分布非常相似，并且应力最大值也很相近。