如何理解应力三轴度？ABAQUS 怎么输出 Stress Triaxiality

理论与试验研究表明，应力三轴度、应变率、罗德参数是影响韧性材料断裂应变的几个主要因素，所以做材料失效的数值模拟时，在一些韧性材料失效模型的损伤起始准则里面，常常会涉及应力三轴度的概念。如图铝合金开槽立柱的韧性断裂：

什么是应力三轴度？应力三轴度有什么物理意义？它如何影响材料失效时的断裂应变？怎么样在 ABAQUS 中输出应力三轴度？

1. 基础

如图受拉杆的应力：

当我们考察一个拉杆结构的应力时，会发现，描述杆件内部的应力和我们选择的截面方位是有关系的，也就是说，截面应力分量（正应力和切应力）的描述的和坐标系相关的，有的截面上有切应力，有的没有。

如图一般结构的应力：

对于一般的结构（连续介质），亦是如此，材料内部任一点的微元体上应力分量的大小取决于该微元体在坐标系下的方位，坐标系转动一下，微元体上的应力也会随之改变，因此采用微元体的描述方法也依赖于坐标系。

然而自然界里并没有坐标系，判断材料是否会被拉断，或者说结构的内部相互作用的状态的描述不应该受限于这些假想出来的截面、微元体，那么什么物理量可以“无视坐标系”，真实地描述材料内部的应力状态呢？

这个物理量就是张量（Tensor），二阶张量在三维空间里有 \(3^2\)= 9 个元素，正好可以完整地描述一点的应力状态，我们可以把它写成矩阵的形式，在不同坐标系下，材料某一点的应力张量会有无数个“分身”，但它在坐标变换时具有一些不变的内蕴性质，而这些不随坐标改变的、对于所有观察者来说都是平权的状态量（应力张量的不变量 I1，I2，I3 或三个主应力 σ1，σ2，σ3）正是反映材料真实应力状态的参数，我们所熟悉的米塞斯应力、静水应力、四大强度理论等都可以表达成这些应力状态量的形式，应力三轴度也是据此定义。

如图主轴坐标系微元体只有正应力 σ1，σ2，σ3：

在以上内容的基础上，可以更好地理解应力三轴度。

2. 应力三轴度的定义

应力三轴度定义为静水应力和米塞斯应力的比值：

\[\eta =\frac{\sigma _m}{\sigma _{eq}}=\frac{(\sigma _1+\sigma _2+\sigma _3)/3}{\sqrt{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}/\sqrt{2}}\]

式中：σ1，σ2，σ3 为主应力，静水应力为：

\[\sigma _m=(\sigma _1+\sigma _2+\sigma _3)/3\]

等效应力（米塞斯应力）：

\[\sigma _{eq}=\sqrt{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}/\sqrt{2}\]

3. 物理意义

我们知道，材料内任一点的应力张量 σ 可以分解为应力球张量 + 应力偏张量的形式（σ=p+s），两者分别引起结构的体积变化（Volumetric deformation）和形状改变（Deviatoric deformation）。

类似地，应力三轴度作为一种常用的应力状态参数，也能同时反映结构的体积变化（分子）和形状改变（分母）。

4. 应力三轴度与材料失效

应力三轴度主要以两种方式影响着材料的失效，一是阻碍塑性变形，二是严重影响材料内部微孔洞的生长过程。